Lösen von linearen Gleichungssystemen mit einem verbesserten Additionsverfahren.
Frage : Wie löse ich ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten ?
Antwort : Man mache aus dem ursprünglichen Gleichungssystem ein Gleichungssystem
mit nur noch zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
und benutze dazu die folgende Gebrauchsanweisung:
SUCHE ZUNÄCHST DIE SPALTE MIT DEN WENIGSTEN EINTRÄGEN:
Fall 1: alle drei Spalten sind voll besetzt:
3x +2y +5z = 5
-3x
- 4y - 2z = 10
3x + 5y +3z =
12
man addiere die
rote und die
grüne Zeile
und
erhält: -2y
+ 3z = 15
man addiere die grüne und die schwarze Zeile und erhält : y + z = 22 | ·2
so entsteht ein neues Gleichungssystem mit nur noch zwei Gleichungen
und nur noch zwei Unbekannten :
-2y + 3z = 15
2y + 2z = 44
Dieses Gleichungssystem löst man durch das Additionverfahren, also durch
Addition der beiden letzten
Gleichungen :
5z = 59, also z = 59/5.
Der Rest ist Einsetzen.
Fall 2:
irgendeine Spalte ist nur zweifach
besetzt
(wir betrachten hier der Einfachheit halber nur die erste Spalte) :
und addieren die erste und zweite Zeile :
3x + 2y = 5
-3x
- 4y - 2z =
10
5y + 3z = 12
durch Addition der beiden roten Zeilen entsteht : -2y - 2z = 15 |·3
die Gleichung, die nicht bearbeitet worden ist, wird übernommen 5y + 3z = 12 |·2
so entsteht wieder ein neues Gleichungssystem mit nur noch zwei Gleichungen
und nur noch zwei Unbekannten:
-6y - 6z = 45
10y + 6z = 24
durch Addition der beiden Zeilen erhält man:
4y = 69, also y= 69/4.
Der Rest ist wieder Einsetzen.
Fall 3: irgendeine Spalte ist nur einfach besetzt (also hier die erste Spalte) :
3x + 2y = 5
- 4y - 2z = 10
5y + 3z =
12
wir betrachten nun die beiden letzten Zeilen, in denen x nicht vorkommt :
-4y - 2z = 10 | ·3
5y + 3z = 12 | ·2
es entsteht also wieder ein neues
Gleichungssystem mit nur noch zwei
Gleichungen und zwei Unbekannten:
-12y - 6z = 30
10y + 6z = 24
Durch Addition der letzten Zeilen erhält man : -2y = 54, also y = -27.
Der Rest besteht wieder aus Einsetzen.